3Dメッシュ向けの並列化された微分可能な最も直線的な測地線

要約: 機械学習は非ユークリッド空間内で機能するように徐々に一般化されてきましたが、表面上での幾何学的に正確な学習手法はまだ遅れをとっています。閉形式のリーマン演算子の欠如、それらの離散対応の非微分可能性、そして貧弱な並列化能力が、メッシュ上のこの分野の発展における主な障害となってきました。メッシュとして離散化されたリーマン面上の指数写像を計算するための原理的なフレームワークは、最も直線的な測地線であり、それは副産物として測地線の追跡やベクトルの平行輸送を可能にします。私たちは並列GPU実装を提供し、最も直線的な測地線を通じて微分する2つの異なる手法を導出します。1つは外部代理関数を活用するもので、もう1つは測地線の有限差分スキームに基づくものです。並列化の性能と精度を実証した後、私たちの微分可能な指数写像が一般的な幾何学における学習および最適化のパイプラインをどのように改善できるかを示します。特に、方法の汎用性を示すために、新しい測地線畳み込み層、新しいメッシュ上での学習のためのフロー整合法、そしてセントロイド・ボロノイ・テセレーションに適用する二次オーダーの最適化アルゴリズムを提案します。私たちのコード、モデル、およびpipインストール可能なライブラリ（digeo）は以下で入手できます: circle-group.github.io/research/DSG。