不規則な幾何形状上で定義された多重結合PDEに対する、物理法則で補正した事前分布を用いたガウス過程サロゲート

Abstract

パラメトリック偏微分方程式（PDE）は複雑な物理現象をモデル化するための基本的な数学的ツールである一方、パラメータ空間全体にわたって高忠実度の数値シミュレーションを繰り返すことは計算上の負担が大きく、実行が計算的に不可能に近い。本研究では、パラメトリックPDEの効率的なサロゲートモデリングのための、物理法則に整合した事前（law-corrected prior）ガウス過程（LC-prior GP）を提案する。提案手法では、固有直交分解（POD）を用いて、高次元の離散解を低次元のモーダル係数空間で表現し、その結果、全次数（full-order）空間における標準的なGPアプローチと比べて、カーネル最適化の計算コストを大幅に削減する。さらに、支配する物理法則を組み込んで法則に整合した事前を構築することで、線形演算子の不変性に依存する既存の物理情報付きGP手法の限界を克服し、カーネルの再設計なしに非線形かつ多重結合されたPDEシステムへの適用を可能にする。加えて、学習データの生成には放射基底関数-有限差分（RBF-FD）法を採用し、不規則な空間領域を柔軟に扱えるようにする。得られる微分行列は解の場（solution fields）に依存せず、反復的な組み立てを行わずに、物理補正の段階で効率的に最適化できる。提案する枠組みは、非線形な多パラメータ系や、異なる2次元の不規則領域上で定義された複数の結合物理変数を伴うシナリオを含む、広範な数値実験によって検証され、基準となる手法と比較して精度と効率の両面で優れていることが示される。