ニューラル演算子および多項式演算子サロゲートの性能
arXiv cs.LG / 2026/4/2
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要点
- 本論文は、パラメトリックなPDEにおける高コストなパラメータ→解写像のサロゲート演算子を扱い、入力の正則性が異なる条件下で、ニューラル演算子サロゲートと多項式の低次元基底（リデュースド・ベース）サロゲートを比較する。
- L2_μおよびH1_μ目的で学習した低次元基底ニューラル演算子（reduced-basis neural operators）とフーリエ・ニューラル演算子を、拡散（線形）問題および超弾性（非線形）問題の双方について、低次元基底のスパースグリッド法および低次元基底のテンソル・トレイン多項式サロゲートと比較・評価する。
- 入力が滑らかな場合（スペクトル減衰率 s ≥ 2）、多項式サロゲートの方がデータ効率が大幅に高く、スパースグリッド法の収束は理論的予測と整合する。
- 入力が粗い場合（s ≤ 1）、フーリエ・ニューラル演算子が最も速い収束率を達成し、ニューラル演算子がより低い正則性に対して適している可能性が示される。
- 著者らは、導関数に基づく学習（例：ジャコビアンに基づく）を行うと、標準的なL2_μ学習よりもデータ効率が向上することを見出しており、導関数情報が比較的低コストで得られる場合には、低データで競争力のあるアプローチになり得るとしている。
