暗黙的多様体上の拡散過程

Abstract

高次元データはしばしば、低次元多様体の近傍にあるものとしてモデル化されます。本研究では、このデータ多様体上における拡散過程を、暗黙（implicit）の設定で構成する方法を調べます。すなわち、点群サンプルのみを用い、チャート、射影、あるいはその他の幾何学的プリミティブにはアクセスせずに行います。本研究の主な貢献は、基底となる多様体上の固有の拡散を捉えるデータ駆動型のSDEでありながら、それが外部（周囲）空間上で定義される点にあります。その構成は、データから構築した近接グラフに基づいて、拡散の微小生成作用素（infinitesimal generator）と、そのキャレ・デュ・シャン（carr\'e-du-champ; CDC）を推定することに依存しています。生成作用素とCDCはいずれも、意図した拡散の局所的な確率構造および幾何学的構造を符号化します。サンプル数が増大するにつれて、誘導される過程が確率過程のパスの空間において、その滑らかな多様体対応物へと法（law）として収束することを示します。この構成を、Implicit Manifold-valued Diffusions（IMDs）と呼びます。さらに、オイラー＝丸山（Euler-Maruyama）積分を用いた数値シミュレーション手順も提示します。これにより、データ多様体上の拡散ダイナミクスを実装するための実践的な基盤が厳密に与えられ、さらに、多様体を意識したサンプリング、探索、生成モデリングの新たな方向性が開かれます。