GRIFDIR：非整形領域上の関数空間におけるグラフ・解像度不変FEM拡散モデル

arXiv cs.LG / 2026/5/6

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要点

本論文は、関数値データを扱うための無限次元の関数空間に基づくスコアベース拡散モデル「GRIFDIR」を提案する。
既存のニューラルオペレータ系バックボーン（例：フーリエニューラルオペレータ）が規則的グリッドに偏り、複雑な領域トポロジーで汎化しにくいという課題を解決することを狙う。
GRIFDIRは、一般化されたグラフ畳み込みカーネルを有限要素の関数として表現し、非構造メッシュや複雑な幾何に自然に対応できるようにする。
非凸かつ多重連結な領域を含む多様な幾何に対して、非条件/条件付きサンプリング実験で有効性を検証する。
その結果、提案手法は解像度不変性を維持しつつ、難しい幾何上での関数分布の高忠実度な捉え方を達成することが示される。

Abstract

無限次元の関数空間におけるスコアベースの拡散モデルは、関数値データをモデリングするための数学的に原理立てられた枠組みを提供し、解像度不変性や不規則な離散化を扱う能力といった主要な利点をもたらします。しかし、実用的な実装ではこれらの利点を十分に実現することに苦労してきました。フーリエニューラル演算子のような既存のバックボーンはしばしば規則的なグリッドに偏っており、複雑な領域トポロジーへの一般化に失敗します。本研究では、一般化されたグラフ畳み込みカーネルを有限要素関数として表現する、関数空間拡散モデルの新しいアーキテクチャを提案します。これにより、モデルが非構造メッシュや複雑な幾何形状を自然に扱えるようになります。非凸で多重連結な領域を含む多様な幾何に対して、無条件および条件付きのサンプリング実験を一連に行うことで、提案するネットワークアーキテクチャの有効性を示します。その結果、提案手法は解像度不変性を維持し、非自明な幾何上での関数分布の高い忠実度な捉えを達成することが分かりました。