概要：最適輸送における Beckmann の問題は、源分布から標的分布への連続輸送問題において総二乗の流束を最小化します。本論文では、拘束のないラグランジュ形式を用い、変分の一階最適性条件を解くことで、最適輸送における Beckmann の問題の解の正則性理論を構築します。Beckmann の発散制約を満たすラグランジュ乗数はポアソン方程式を満たすことが分かり、流束ベクトル場はポテンシャルの勾配として得られます。楕円正則性理論の Schauder 推定量を用いて、有界で正則な領域における源密度と標的密度の Hölder 正則性を基盤として、ポテンシャル、流束、流を生成する場の正確な Hölder 正則性を導出します。もし標的分布がパラメータに依存する場合、条件付き（「promptable」）生成学習の場合と同様に、パラメータおよびデータ次元における得られるベクトル場の個別および結合の Hölder 連続性を保証する十分条件を提示します。Belomnestny らの最近の結果に従い、このようなベクトル場を深層 ReQu ニューラルネットワークを用いて、C^(k,α)-Hölder ノルムで近似することができる。さらに、このアプローチは Fisher-Rao 勾配フローのような他の確率経路にも一般化できることを示します。
Beckmannのパラメトリック最適輸送問題の解の正則性
arXiv stat.ML / 2026/3/23
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要点
- 本論文は、制約なしラグランジアン形式と変分的一階最適性条件を用いて、最適輸送問題における Beckmann 問題の正則性理論を構築する。
- 発散制約を課すラグランジュ乗数がポアソン方程式を満たすこと、そして輸送フラックスがポテンシャルの勾配として表されることを示す。
- Schauderの楕円正則性を用いて、有界で規則的な領域上で、源密度と標的密度が Hölder 連続である場合に、ポテンシャル・フラックス・生成流の厳密な Hölder 正則性を導く。
- パラメータ依存のターゲット（条件付き生成学習におけるもの）について、得られるベクトル場のパラメータ次元とデータ次元の双方での個別および結合 Hölder 連続性を満たす十分条件を提供する。
- 本研究は、これらのベクトル場が Hölder ノルムで深層 ReQu ニューロンネットワークによって近似可能であることを指摘し、Fisher–Rao 勾配流のような他の確率的経路にも一般化する。
